데이터 사이언스를 위한 선형대수학

선형대수학은 데이터를 벡터나 행렬로 표현하고, 이들 간의 연산과 변환을 효율적으로 수행하는 데 필수적이다. 머신러닝, 딥러닝, 데이터 분석, 차원 축소, 추천 시스템 등 데이터 과학의 거의 모든 분야에서 선형대수학은 기초가 되는 역할을 하므로, 데이터를 효과적으로 처리하고 분석하기 위해서는 선형대수학을 반드시 공부해 한다.

 

 

1. 데이터 표현 및 조작

• 데이터 구조: 데이터는 보통 행렬이나 벡터로 표현. 예를 들어, 표 형식의 데이터는 행렬로 나타낼 수 있고, 각 행 또는 열이 하나의 데이터 포인트를 나타냄.

• 벡터와 행렬 연산: 데이터를 처리할 때, 벡터와 행렬 연산이 많이 사용. 선형대수학을 이해하면 데이터의 전처리(예: 정규화, 표준화), 변환 등을 효과적으로 수행할 수 있음.

 

2. 머신러닝 알고리즘

• 선형 회귀: 선형대수학을 기반으로 한 대표적인 머신러닝 알고리즘. 목표는 데이터에 가장 적합한 직선을 찾는 것이며, 이를 위해 최소 제곱법 등 선형대수학 개념을 활용.

• PCA(주성분 분석): 차원 축소 기법으로, 데이터의 분산을 최대화하는 방향으로 데이터를 투영하기 위해 **고유값(eigenvalue)와 고유벡터(eigenvector)**를 사용.

• 서포트 벡터 머신(SVM): 고차원 공간에서 선형 분리 경계(초평면)를 찾는 알고리즘으로, 이때 벡터와 행렬 연산이 핵심.

 

3. 딥러닝

• 신경망 가중치: 딥러닝에서 뉴런 간의 연결 가중치들은 행렬로 표현되며, 신경망 학습에서 행렬 곱셈이 반복적으로 사용. 신경망의 각 층에서 입력과 가중치를 곱하고 활성화 함수를 적용하는 과정에서 선형대수학이 기본적으로 사용.

• 그래디언트 계산: 역전파(backpropagation) 알고리즘을 사용하여 그래디언트를 계산하는 과정에서도 행렬 미분과 같은 선형대수학적 개념이 필요.

 

4. 추천 시스템

• 추천 시스템에서 **행렬 분해(Matrix Factorization)**와 같은 기법은 선형대수학을 사용하여 사용자와 아이템의 관계를 나타내는 행렬을 분해하고, 이를 통해 새로운 추천을 만듬.

 

5. 고유값 및 고유벡터

• **고유값(eigenvalue)와 고유벡터(eigenvector)**는 차원 축소, 데이터 분해, 페이지 랭크(PageRank) 알고리즘 등에서 중요한 역할을 함. 예를 들어, **PCA(주성분 분석)**는 데이터의 주요 변동성을 포착하기 위해 고유벡터를 사용.

 

6. 코사인 유사도 및 벡터 공간 모델

• 텍스트 데이터 분석에서는 **벡터 공간 모델(Vector Space Model)**을 사용하여 문서를 벡터로 표현하고, 두 벡터 간의 코사인 유사도를 계산하여 문서 간의 유사성을 측정한다. 이러한 유사성 측정도 벡터 연산을 기반으로 함.

 

7. 빅데이터 처리

• 대규모 데이터를 다루는 빅데이터 처리에서도 병렬 행렬 연산이 자주 등장함. 선형대수학은 이러한 행렬 연산을 최적화하고 효율적으로 처리하는 데 중요한 이론적 기초를 제공함.